Рассмотрим возможность применимости принципа прогнозирования без модификации локальных функций. Локальные задачи имеют вид.
Задача координации сводится к отысканию прогнозных значений 
связующих переменных 
с целью выполнения условий согласования.
В предыдущем параграфе был указан способ определения вектора оптимальных координирующих параметров, для которого выполнены условия согласования, через итерационный процесс координации и получены условия его сходимости. Но пока остается открытым вопрос, будет ли это решение задачи координации и соответствующие решения локальных задач обеспечивать решение исходной задачи и при каких условиях это возможно.
Таким образом, требуется получить условия, при выполнении которых решения 
, 
локальных задач давали бы решение 
глобальной задачи (1)-(2).
Теорема 2. Если сепарабельная строго выпуклая глобальная функция качества 
удовлетворяет условию монотонности и достигает условного минимума на множестве
 , |
(41) |
во внутренней точке при любом 
, где 
- множество связующих переменных, то принцип прогнозирования связующих переменных применим без модификации локальных функций.
Доказательство теоремы опирается на следующую лемму.
Лемма 2. Если строго выпуклая на выпуклом множестве 
функция достигает условного минимума на 
во внутренней точке 
, то это есть точка глобального минимума на .
Доказательство. Пусть глобальный минимум на достигается в точке 
отличной от точки 
. Очевидно, что 
. В противном случае это противоречило бы тому, что 
- точка минимума на 
. Тогда в силу строгой выпуклости на ,
 |
(42) |
при всех 
. Очевидно, что в частности,
 |
(43) |
при всех 
. Поскольку - внутренняя точка области , то на отрезке, соединяющем ее с точкой ,
имеется бесчисленное множество точек 
, координаты которых можно представить в виде
при некотором 
Из условия строгой выпуклости 
на 
для 
, удовлетворяющих (44)-(45), справедливо неравенство
при 
. Отсюда, учитывая левую часть неравенства (43) и положительность 
, получаем
Противоречие с правой часть неравенства (43) доказывает, что предположение
о достижении глобального минимума 
на 
в точке, отличной от 
, не правомерно. Лемма доказана.
Доказательство теоремы
Пусть 
- вектор координирующих параметров, такой что для всех 
выполнены условия согласования 
. Тогда при каждом 
для любой пары 
выполнены неравенства
где 
- локально-оптимальное решение 
-ой задачи, а 
. Эти неравенства справедливы и для всех 
, таких что 
и для которых выполнены соотношения 
, т.е. на множестве 
справедливы неравенства
Поскольку 
монотонно зависит от 
, то вектор 
локально-оптимальных решений обеспечивает минимум функции 
на множестве 
. Из условий теоремы 
строго выпукла на выпуклом множестве 
и 
есть внутренняя точка множества 
. Используя результат леммы, получаем, что 
- решение задачи минимизации 
на 
, т.е. задачи (1)-(2). Теорема доказана.