7. Многоуровневые модели принятия решений

7.4 Описание задач двухуровневой системы

Рассматривается задача оптимизации вида:

где X, E l, Y, E r можно представить в виде прямых произведений соответствующих множеств Xi, Eil, Y i, Eir:

а . Пространство R упорядочено отношением естественным образом. Пространства E l и E r можно считать для определенности евклидовыми, хотя правила введения в них топологии для дальнейшего рассмотрения не существенны. Это связано с тем, что методы собственно поиска решения на E l×E r и на его подмножествах не рассматриваются. Этим же объясняется и обобщающая постановка задачи оптимизации, включающая и задачи математического программирования, и задачи параметрической оптимизации, и задачи оптимального управления.

Задача будет считаться глобальной по отношению к двухуровневой системе принятия решения, которую предстоит построить для решения этой задачи.

Следует отметить, что в настоящем параграфе не преследуется цель строгого математического обоснования формулировок вводимых задач двухуровневой системы, поскольку этому посвящены все последующие параграфы.

Расщепление пространств управлений E l и выходов E r системы на подпространства меньшей размерности li и ri наводит на мысль о предоставлении подсистемам нижнего уровня возможности решать задачи оптимизации на этих подпространствах. Тогда число m локальных задач нижнего уровня, удовлетворяющее очевидному неравенству m < min(l,r), должно быть к тому же таким, чтобы размерности li и ri не были заведомо большими. Это условие позволит надеяться, что задачи в иерархической системе принятия решения, подлежащей построению, будут решаться известными методами без особых проблем (если же таковые возникнут, то следует попытаться свести исходную задачу к решению других задач).

Пусть при решении локальной задачи оптимизации, например i-й, будет определена только i-я вектор-компонента xi0 управляющего вектора x0, так что при решении всех m локальных задач может быть сформирован вектор .

Расщепление пространства выходов E r соответствует расщеплению и ограничений y = P(x). В общем случае каждая компонента yi вектора y зависит от всех компонент xj, , а не только от xi, поэтому локальные задачи, а следовательно и их решение xi0, зависящее от других решений xj0, , трудно сделать независимыми друг от друга без дополнительных переменных. В постановках локальных задач, по-видимому, целесообразно иметь кроме xi и yi некоторые дополнительные переменные ui, изменяя которые, можно так варьировать вектор , где , чтобы он обеспечил решение исходной задачи при некоторых ui0, . Таким образом, выбор каждого ui0 зависит от решений всех локальных задач, и эту зависимость можно выразить функционально через некоторые отображения Hi(x, y), или функции взаимодействия, в виде

Если используется принцип прогнозирования связующих переменных без модификаций локальных функций, то связующие переменные ui в каждой локальной задаче задаются в виде конкретных чисел или функций ai, в зависимости от того, являются ли переменные в задаче (1) - (2) числовыми векторами или вектор-функциями.

Поскольку модификаций локальных функций нет, то локальные задачи для принципа прогнозирования связующих переменных (без модификаций) можно принять в виде

(4)
(5)

Правила выбора отображений Gi, Pi и Hi и условия, которым они должны подчиняться, рассматриваются ниже.

При использовании модификаций локальных Gi(xi, yi, ai) в принципе прогнозирования задачи (4) - (5) модифицируются:

(6)

где b - вектор модифицирующих параметров.

Для решения задач (6) необходимо задавать прогнозные значения ai, , связующих переменных ui и вектор модифицирующих параметров b, который может быть числовым или вектор-функцией.

Использование принципа последующего согласования связующих переменных предполагает, что связующие переменные ui выступают в локальных задачах как дополнительные переменные, по которым, в частности, тоже осуществляется минимизация, но вид модифицированных функций должен задаваться априорно с последующей коррекцией параметров b. Локальные задачи в этом случае можно принять в виде

(7)
(8)

где Ui - множество связующих переменных, такое ,что .

Пусть задача координации при использовании принципа прогнозирования связующих переменных без модификаций локальных функций состоит в отыскании прогнозных значений ai0, , связующих переменных с целью выполнения условий согласования

, (9)

где x0(a0) и y0(a0) - векторы, составленные из локально-оптимальных решений:

(10)

а a0 - вектор прогнозных значений связующих переменных; .

Очевидным способом обеспечения согласования всех локально-оптимальных решений xi0(ai), т.е. выполнения условий согласования (9), является итерационный процесс. Итерационный процесс координации можно построить, например, на простой итерации:

(11)

где , li(k), k - номер итерации.

При использовании принципа прогнозирования связующих переменных с модификациями локальных функций задача координации усложняется и состоит в отыскании ai, и , таких, чтобы выполнялись условия:

(12)
(13)

где hi(x, y) - некоторые отображения, правила выбора которых пока не известны. Здесь векторы x0(a, b) и аналогичны выписанным в (10):

Итерационный процесс координации построен на взаимном влиянии a и b:

(14)
(15)
(14')
(15')

где , li(k) > 0, mi(k) > 0, k - номер итерации.

Задача координации при использовании принципа последующего согласования связующих переменных состоит в отыскании модифицирующих параметров bi0 так, чтобы выполнялись условия согласования

(16)

где .

Итерационный процесс координации можно задать в виде
(17)
где , li(k) > 0, k - номер итерации.

Таким образом, координирующее воздействие g для принципа прогнозирования связующих переменных без модификаций совпадает с a, с модификациями - a, b, а для принципа последующего согласования связующих переменных - с b.

Необходимо ответить на следующие вопросы:

  1. При каких условиях имеет место применимость каждого из принципов координации, т.е. решение глобальной задачи совпадает с x0(a) (соответственно с x0(a, b) или с x0(b)), если выполнены условия согласования (9) (соответственно (12) - (13) или (16)).

  2. При каких условиях имеет место сходимость итерационного процесса координации (11), (14), (15) или (17) к вектору оптимальных координирующих параметров (a, (a, b) или b), при котором будут выполнены условия согласования (соответственно (9), (14), (15) или (17)).

Решение этих двух вопросов позволит сформулировать общие условия, гарантирующие координируемость соответствующей двухуровневой системы, а следовательно, решение глобальной задачи (1) - (2) путем сведения ее к двухуровневой системе принятия решения.

Произвол в выборе введенных в рассмотрение функций взаимодействия Hi(x, y), функций hi(x, y), Pi(x, y), локальных функций и их модификаций, чисел li(k) и mi(k) можно использовать для обеспечения применимости принципов и сходимости итерационных процессов.