7. Многоуровневые модели принятия решений

7.14 Единый подход

Введём обозначения:



Пусть функция аддитивна, то есть



или



при   

Тогда глобальная задача минимизации G(x,y) по x,y рассматривается, как задача минимизации       по

   при условиях   

Введём функцию Лагранжа



Лемма о достаточных условиях (обоснование метода множителей Лагранжа):
Пусть f(x) задана на множестве A, L(x) задана на множестве B, причём A вложено в B, и на множестве A: L(x) = f(x). Тогда если



принадлежит A, то



Если f(x) принять за



а за L(x) - L(x,a), за множество B - множество переменных    и   

удовлетворяющих исходным ограничениям глобальной задачи, за A - множество тех же переменных, удовлетворяющих ещё и ограничениям:



То очевидно, что условия леммы выполняются. Тогда для решения глобальной задачи достаточно найти точку минимума функции Лагранжа L(x,a), удовлетворяющую ограничениям



Естественно предположить, что функции согласования        имеют вид:



Тогда:



то есть модификация с нулевой суммой.

Найти пару

(x,a)= arg min L(x,a)

удовлетворяющую ограничениям



можно разными способами, в частности:

1). Найти

   - решения локальных задач минимизации   по      , удовлетворяющим исходным ограничениям; далее найти   из решения задачи координации   



  где



В результате найти:



Этот способ смыкается с принципом "развязывания" взаимодействий.

2). Найти       -решения локальных задач минимизации       по      , удовлетворяющим исходным ограничениям; затем найти      из решения задачи координации:



(система уравнений последней строки получается из необходимых условий минимума L(x,a) по a; при выполнении условия выпуклости      , эти условия становятся и достаточными.)

В результате

Этот способ смыкается с принципом прогнозирования с модификацией целей. Особого внимания заслуживает принцип прогнозирования без модификации целей

(когда все     ),

который просматривается, в частности, при