Введём обозначения:
Пусть функция аддитивна, то есть
или
при
Тогда глобальная задача минимизации G(x,y) по x,y рассматривается, как задача минимизации
по
при условиях
Введём функцию Лагранжа
Лемма о достаточных условиях (обоснование метода множителей Лагранжа):
Пусть f(x) задана на множестве A, L(x) задана на множестве B, причём A вложено в B, и на множестве A: L(x) = f(x).
Тогда если
принадлежит A, то
Если f(x) принять за
а за L(x) - L(x,a), за множество B - множество переменных и
удовлетворяющих исходным ограничениям глобальной задачи, за A - множество тех же переменных, удовлетворяющих ещё и ограничениям:
То очевидно, что условия леммы выполняются. Тогда для решения глобальной задачи достаточно найти точку минимума функции Лагранжа L(x,a), удовлетворяющую ограничениям
Естественно предположить, что функции согласования имеют вид:
Тогда:
то есть модификация с нулевой суммой.
Найти пару
(x,a)= arg min L(x,a)
удовлетворяющую ограничениям
можно разными способами, в частности:
1). Найти
- решения локальных задач минимизации
по , удовлетворяющим исходным ограничениям; далее найти
из решения задачи координации
где
В результате найти:
Этот способ смыкается с принципом "развязывания" взаимодействий.
2). Найти -решения локальных задач минимизации
по
, удовлетворяющим исходным ограничениям; затем найти
из решения задачи координации:
(система уравнений последней строки получается из необходимых условий минимума L(x,a) по a; при выполнении условия выпуклости , эти условия становятся и достаточными.)
В результате
Этот способ смыкается с принципом прогнозирования с модификацией целей.
Особого внимания заслуживает принцип прогнозирования без модификации целей
(когда все ),
который просматривается, в частности, при