3. Многокритериальные задачи.

3.5. О сужении области компромиссов.

Область компромиссов, или область Парето, часто достаточно "широкая", тогда как для практических решений целесообразно ограничиться "узким" классом решений. Методы сужения области копромиссов построены на различных модификациях метода "уступок". Простейший метод последовательных уступок состоит в следующем:

  1. Критерии располагают в порядке убывающей важности.
  2. Определяют решение, минимизирующее
  3. Назначают некоторую "уступку" , которую можно допустить, чтобы улучшить решение по кретерию
  4. Определяют решение, минимизирующее при условии
  5. Назначают "уступку" , и процесс продолжается.

Замечание I. Такой способ хорош тем, что сразу видно, ценой какой "уступки" в одном показателе приобретается выигрыш в другом.

Замечание II. Свобода выбора решения, приобретаемая ценой даже незначительных "уступок", может оказаться существенной, так как в окрестностях минимума обычно эффективность решения меняется очень слабо.

На каждом шаге метода уступок решается задача вида: ; , ; , , ; решение которой не всегда оптимально по Парето.

Теорема Для того, чтобы решение было оптимальным по Парето необходимо и достаточно, чтобы ;

- множество оптимальных по Парето решений из области , для критериев .

Замечание Если решение единственно, то оно оптимально по Парето.

Доказательство

1.Необходимое условие:

Допустим, что ,тогда , :

(*), ,

Пусть противоречит тому, что является решением задачи на iом шаге. Пусть то тогда (*) противоречит тому, что оптимально по Парето для критериев на множестве решений , поскольку .

2. Достаточное условие: Допустим, и такие, что:

(**), , ,

Очевидно, что , так как .

Из (**) следует, что , а это противоречит c условиям теоремы. Эффективная точка будет эффективной по Джоффриону , если для любых y, i, j таких, что , , такое, что выполняется

В приведённом примере все точки нижней ветви графика будут эффективны по Джоффриону. Исключение составляет точка А, определяется tg угла наклона касательной. Если , то точка оптимальна по Джоффриону.