3. Многокритериальные задачи.

3.4. Необходимые и достаточные условия оптимальности по Парето.

Лемма (оптимально по Парето) - есть решение n задач: ,

Доказательство

Необходимость Предположим противоположное: -не является решением i-й задачи. т.к. , то : , , , т.е. по определению - противоречие.

Достаточность Предположим противоположное: -является решением n задач. Допустим , тогда : , , .

Из второго неравенства следует что , а из первого получаем противоречие с тем, что является решением iой задачи. Следовательно .

Теорема Если множества К и выпуклые и замкнутые,функции и для заданного x существуют при всех i внутренние векторы такие, что , ,

тогда, для того чтобы являлась точкой Парето, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие, что являлось бы решением задачи , ,

Достаточность Допустим, что - решение задачи минимизации взвешенной комбинации критериев и не яляется оптимальным по Парето. Тогда : , , . Просуммируем левые и правые части всех неравенств умноженных на соответствующую Получаем противоречие с тем, что - решение задачи минимизации взвешенной комбинации критериев

Необходимость Если - точка Парето, то является решением n задач: , . Каждая задача - задача выпуклого программирования По теореме Куна-Таккера существуют такие,что

для всех x, удовлетворяющих ограничениям. Заметим, что неравенство справедливо при любом значении i. Суммируя их, получаем