.Рассмотрим игру с не противоположными интересами и n игроками.
Пусть есть n игроков со стратегиями {Xi}, i Î {1,...,n},
платежные функции каждого игрока .
Мы не требуем выполнения условия 
. Пусть 
-
оптимальные стратегии. Тогда
, i Î {1,...,n}.
Точка 
называется оптимальной по Нэшу, а ситуация в данном случае называется
равновесием по Нэшу.
Рассмотрим частный случай: n = 2, число стратегий - конечно. Такая игра называется биматричной.
Пусть у 1-го игрока m стратегий, у 2-го - n стратегий. A(mxn) - матрица выигрышей
1-го игрока, B(mxn) - матрица выигрышей 2-го игрока. Пара (P*, Q*)
оптимальных стратегий описывает ситуацию равновесия по Нэшу, если существуют векторы P*
³ 0; Q* ³ 0;
; 
; PAQ*
£ P*AQ*; P*BQ
£ P*BQ*.
Теорема 1. Пара (P*, Q*) - оптимальна по Нэшу тогда и только тогда, когда существуют
m, n такие, что 
, 
и 
,
.
Доказательство.
1. Необходимость
Возьмем m и n такие, что PAQ* £ P*AQ* = m, P*BQ £ P*BQ* = v .
,
то есть, .
Аналогично можно показать, что .
Из выражений (*) также следует, что
2. Достаточность
Пусть условия ; ;
, 
(**)
для любых P, Q, P*, Q*. Следовательно P*AQ*
£ m, P*BQ*
£ n, а т.к. выполняется еще и равенство
P*AQ* = m, P*BQ* = n (***)
Таким образом, из (***) следует, что PAQ* £ P*AQ*, PBQ* £ P*BQ*, а эти неравенства есть не что иное, как определение оптимальности по Нэшу.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пара (P*,Q*) - оптимальна по Нэшу тогда и только тогда, когда существуют
m, n такие, что 
, где
1. Необходимость
PAQ* £ P*AQ* = m, PBQ* £ P*BQ* = n на множестве Z выполняется условие PAQ £ m, PBQ £ n, следовательно PAQ + PBQ - m - n £ 0 (1).
P*AQ* + P*BQ* = m + n, следовательно выражение (1) для P = P*, Q = Q* имеет вид P*AQ* + P*BQ* - m - n = 0. Сопоставив (1) и (2) получим, что (P*,Q*) - оптимальная по Нэшу.
Теорема доказана.