ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

И ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

 

Определение 1. Если  и  — приращение незави­симой переменной , то  — приращение функции .

 

Определение 2. Выражение   если оно имеет смысл, называется производной функции

 

Определение 3. Производной второго порядка от функции  называется производная от ее первой производной:

 

 или

 

Определение 4. Производной и n-го порядка от функции  называется производная от производной (n-1)-го по­рядка этой функции:

 

 или

 

Правило 1. Основные правила нахождения производной.

 

Если – постоянная величина, а функции  и имеют производные, то:

 

1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4.  (константу можно выносить за знак производной).

1.5. .

1.6. .

 

Правило 2. Основные формулы дифференцирования.

Если , где  - независимая переменная, то

2.1. ;

2.2. ;

2.3. ;

2.4. ;

2.5. ;

2.6. ;

2.7. ;

2.8. ;

2.9. ;

2.10. ;

2.11. ;

2.12. ;

2.13. .

 

 

Правило 3. Дифференцирование сложной функции.

 

Если задана сложная функция , где , то ее производная  или .

 

 

Правило 4.  Дифференцирование функции, заданной в неявном виде.

 

4.1.  Если дифференцируемая функция  удовлетворяет уравнению , то производная  этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где  дифференцируется как сложная функция переменной .

4.2. Производная второго порядка может быть вычислена двумя способами:

а) найденную  продифференцировать еще раз, помня, что , т.е. ;

б) результат первого дифференцирования уравнения  вновь подвергнуть такому же действию, т. е.

и из последнего уравнения, подставив в него уже найденную производную , выразить искомую . (Аналогично вы­числяются производные более высокого порядка.)

 

Правило 5. Дифференцирование показательно-степенной функции

где и дифференцируемые функции. Для нахождения производной функции, необходимо предварительно ее прологарифмировать: .

Затем, используя правило 4, вычислить искомую производ­ную.

Основные свойства логарифмов: .

Выражение, где, называется логарифмической производной.

 

Правило 6. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

 

6.1. Система уравнений где и  дифференцируемые функции и, опре­деляет в некоторой области параметрически заданную функцию, причем.