Проведем прямую через фокусы гиперболы. Эта прямая является осью симметрии гиперболы. Другая ось симметрии перпендикулярна к первой и проходит через середину отрезка F₁, F₂. Точка О пересечения осей является центром симметрии; она называется просто центром гиперболы Первая ось пересекает гиперболу в двух точках A₁ и A₂, называемых вершинами гиперболы; отрезок A₁, A₂ называется действительной осью гиперболы. Разность расстояний точки гиперболы A₁ до фокусов F₁ и F₂ должна равняться m:

в силу симметрии гиперболы; поэтому А₁F₁ можно заменить А₂F₂, и мы получим

Очевидно, что разность А₁F₂—А₂F₂ равна А₁А₂, т е. равна длине действительной оси гиперболы; Итак, разность m расстояний любой точки гиперболы до ее фкусов (при этом из большего расстояния следует вычитать меньшее) равна длине действительной оси гиперболы.

Засечем из вершины А₁ (или из A₂) вторую ось симметрии гиперболы дугой окружности, радиус которой равен половине F₁F₂. Найдем две точки В₁ и В₂ (рис. 18); отрезок В₁В₂ называется мнимой осью гиперболы. Построим далее прямоугольник РQRS, стороны которого параллельны осям гиперболы и проходят через точки А₁,А₂, В₁ и В₂ и проведем его диагонали РК и QS. Продолжая их неограниченно, получим две прямые, называемые асимптотами гиперболы. Они обладают тем замечательным свойством, что нигде не пересекаются с гиперболой, хотя точки гиперболы приближаются к асимптотам сколь угодно близко и тем .ближе, чем дальше эти точки отстоят от центра гиперболы. Дуги гиперболы, заключенные между двумя точками, далекими от центра, выглядят на рисунке почти как отрезок прямой (см. дугу М₁ М₂ на рис. 18), хотя на самом деле они нигде не прямолинейны; просто искривление их незначительно и потому едва заметно.

Чтобы изобразить приблизительно гиперболу на рисунке, не прибегая к точному построению с помощью линейки и нити, следует поступать так. Сначала изображаем оси симметрии гиперболы; затем отмечаем на первой из них фокусы F₁ и F₂ на равных расстояниях от центра, далее откладываем по обе стороны от центра на той же первой оси отрезки, равные половине m, т. е. половине заданной разности расстояний точек гиперболы до ее фокусов, и получаем вершины A₁ и A₂ гиперболы; потом наносим на второй оси засечками точки В₁ и В₂, строим прямоугольник РQRS и, наконец, проводим и продолжаем его диагонали. Получается фигура, изображенная на рис. 19. Теперь остается провести от руки две дуги, симметричные относительно осей, проходящие через

точки A₁ и A₂, плавно изгибающиеся и все теснее и теснее прилегающие к асимптотам РR и QS.