Количество и размер жордановых
клеток
Пусть А - матрица, которую
нужно привести к жордановой форме, lj (k=1,...,mj) -
собственные значения этой матрицы.
Количество жордановых клеток размера
k, отвечающих собственному значению lj,
определяется следующим образом:
(3.1)
(3.2)
где k=1,...,mj, mj - кратность корня lj,
ex3
Пример
Пусть дана матрица преобразования:
Найдем количество и размер жордановых клеток, соответствующих каждому собственному значению этого преобразования.
Как искать собственные значения, было подробно рассказано в первом параграфе учебника. Поэтому опустим все расчеты, а сразу укажем собственные числа матрицы А:
l1=0 кратности m1=1 и l2=-1 кратности m2=2.
Используя соотношения (3.1) и (3.2), найдем количество и размер жордановых клеток, соответствующих l1=0, m1=1.
Очевидно, что rang(A-l1E)=2 и, соответственно, r1=r2=rang(A-l1E)1=2, r0=n=3.
Количество жордановых клеток размера 1 будет равно: r0-2r1+r2=3-2*2+2=1.
Ясно, что других клеток для этого собственного значения нет. Т.о., для l1=0, m1=1 мы имеем единственную жорданову клетку вида J1(0)=(0).
Далее аналогичным образом определяем клетки для второго собственного значения l2=-1 кратности m2=2.
Очевидно, что rang(A-l2E)=2 и, соответственно, r1=r2=rang(A-l2E)1=2.
Далее:
Т.е. rang(A-l1E)2=1 и, соответственно, r1=r2=rang(A-l1E)2=1.
Теперь можно определить количество и размер жордановых клеток для второго собственного значения:
- размера 1: r0-2r1+r2=3-2*2+1=0;
- размера 2: r1-2r2+r3=2-2*1+1=1.
Таким образом, для l2=-1 мы получили одну клетку размера 2:
Соответственно, жорданова форма для исходной матрицы А будет иметь вид:
В начало страницы
|